Skaičių teorija: pirminiai skaičiai ir jų vaidmuo šiuolaikinėje kriptografijoje

Skaičių teorija, dažnai laikoma „matematikos karaliene“, yra grynosios matematikos šaka, skirta daugiausia sveikųjų skaičių ir jų savybių tyrimui. Nors tai gali atrodyti abstraktu, skaičių teorija yra daugelio realaus pasaulio taikymų pagrindas, ypač kriptografijos srityje. Šiame straipsnyje nagrinėjamos pagrindinės skaičių teorijos sąvokos, ypač pirminiai skaičiai, ir parodomas jų lemiamas vaidmuo saugant mūsų skaitmeninį pasaulį.

Kas yra skaičių teorija?

Skaičių teorija apima platų temų spektrą, įskaitant:

• Dalumą ir pirminius skaičius
• Lyginius ir modulinę aritmetiką
• Diofantines lygtis
• Algebrinę skaičių teoriją
• Analizinę skaičių teoriją

Savo esme skaičių teorija tiria sveikųjų skaičių savybes ir ryšius. Dėl elegantiškų įrodymų ir netikėtų sąsajų su kitomis matematikos ir informatikos sritimis ji yra patraukli disciplina.

Pirminiai skaičiai: sveikųjų skaičių statybiniai blokai

Pirminis skaičius yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, kuris neturi kitų teigiamų daliklių, išskyrus 1 ir patį save. Pirminių skaičių pavyzdžiai: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ir t. t. Skaičiai, kurie nėra pirminiai, vadinami sudėtiniais skaičiais.

Pirminiai skaičiai yra fundamentalūs, nes jie yra visų kitų sveikųjų skaičių statybiniai blokai. Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas sveikasis skaičius, didesnis už 1, gali būti unikaliai išreikštas kaip pirminių skaičių sandauga, neatsižvelgiant į dauginamųjų eiliškumą. Pavyzdžiui:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

Šis unikalus skaidymas pirminiais dauginamaisiais yra pamatas, ant kurio sukurta daugybė kriptografijos algoritmų.

Pirminių skaičių radimas

Pirminių skaičių identifikavimas domino matematikus šimtmečius. Egzistuoja keletas pirminių skaičių radimo metodų, įskaitant:

• Bandomasis dalijimas: Padalinkite skaičių n iš visų sveikųjų skaičių nuo 2 iki √n. Jei nė vienas iš jų nedalija n be liekanos, tuomet n yra pirminis. Tai paprasta, bet neefektyvu dideliems skaičiams.
• Eratosteno rėtis: Efektyvus algoritmas, skirtas rasti visus pirminius skaičius iki nurodyto sveikojo skaičiaus. Jis veikia iteratyviai žymėdamas kiekvieno pirminio skaičiaus kartotinius, pradedant nuo pirmojo pirminio skaičiaus, 2.
• Pirminių skaičių testai: Sudėtingesni algoritmai, tokie kaip Millerio-Rabino pirminių skaičių testas (tikimybinis testas) ir AKS pirminių skaičių testas (deterministinis testas), naudojami nustatyti, ar labai dideli skaičiai yra pirminiai.

Pirminių skaičių pasiskirstymas

Pirminiai skaičiai nėra pasiskirstę tolygiai tarp sveikųjų skaičių. Didėjant skaičiams, pirminių skaičių tankis mažėja. Pirminio skaičiaus teorema pateikia asimptotinį įvertį pirminių skaičių, mažesnių arba lygių duotam skaičiui x, skaičiui, žymimam π(x):

π(x) ≈ x / ln(x)

Ši teorema suteikia įžvalgų apie ilgalaikį pirminių skaičių pasiskirstymo elgesį.

Kriptografija: informacijos saugojimas naudojant pirminius skaičius

Kriptografija yra saugios komunikacijos metodų praktika ir tyrimas esant priešiškoms šalims. Šiuolaikinė kriptografija labai priklauso nuo matematinių koncepcijų, o pirminiai skaičiai vaidina pagrindinį vaidmenį daugelyje šifravimo algoritmų.

Daugelio kriptografinių sistemų saugumas grindžiamas tam tikrų skaičių teorijos problemų, ypač skaidymo pirminiais dauginamaisiais problemos ir diskrečiojo logaritmo problemos, skaičiavimo sudėtingumu. Šios problemos laikomos „sunkiomis“, nes nėra žinoma efektyvių (polinominio laiko) algoritmų joms spręsti klasikiniuose kompiuteriuose.

RSA: viešojo rakto kriptografijos kertinis akmuo

RSA (Rivest-Shamir-Adleman) algoritmas yra viena iš plačiausiai naudojamų viešojo rakto kriptosistemų. Jos saugumas priklauso nuo didelių sudėtinių skaičių skaidymo į pirminius dauginamuosius sudėtingumo.

Štai supaprastinta RSA veikimo apžvalga:

1. Rakto generavimas:
   • Pasirinkite du skirtingus didelius pirminius skaičius p ir q.
   • Apskaičiuokite n = p × q. Tai yra modulis.
   • Apskaičiuokite φ(n) = (p - 1) × (q - 1), kur φ yra Eulerio totiento funkcija.
   • Pasirinkite sveikąjį skaičių e, tokį kad 1 < e < φ(n) ir gcd(e, φ(n)) = 1 (e ir φ(n) yra tarpusavyje pirminiai). e yra viešasis eksponentas.
   • Apskaičiuokite d, modulinį multiplikatyvinį e atvirkštinį moduliu φ(n). Tai yra, d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d yra privatusis eksponentas.
   • Viešasis raktas yra (n, e).
   • Privatusis raktas yra (n, d).
2. Šifravimas:
   • Norėdami užšifruoti pranešimą m (pateiktą kaip sveikąjį skaičių), apskaičiuokite c = m^e mod n, kur c yra šifruotas tekstas.
3. Dešifravimas:
   • Norėdami dešifruoti šifruotą tekstą c, apskaičiuokite m = c^d mod n.

RSA saugumas priklauso nuo to, kad yra skaičiavimo požiūriu sunku suskaidyti didelį skaičių n į jo pirminius dauginamuosius p ir q, ypač kai p ir q yra pakankamai dideli (šimtai ar tūkstančiai skaitmenų). Jei užpuolikas galėtų suskaidyti n, jis galėtų lengvai apskaičiuoti φ(n) ir tada nustatyti privatųjį raktą d.

Pavyzdys: Tarkime, pasirenkame p = 61 ir q = 53.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• Pasirinkime e = 17 (tarpusavyje pirminis su 3120).
• Turime rasti d, tokį kad (17 * d) mod 3120 = 1. Naudodami Išplėstinį Euklido algoritmą, randame d = 2753.
• Viešasis raktas: (3233, 17)
• Privatusis raktas: (3233, 2753)

Jei norime užšifruoti pranešimą m = 123, tuomet:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

Norint dešifruoti:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

Šis pavyzdys naudoja mažus skaičius iliustracijai. Realiuose RSA įgyvendinimuose naudojami daug didesni pirminiai skaičiai, siekiant užtikrinti saugumą.

Diffie-Hellman raktų apsikeitimas

Diffie-Hellman raktų apsikeitimas yra kriptografinis protokolas, leidžiantis dviem šalims sukurti bendrą slaptą raktą per nesaugų kanalą. Šis bendras slaptas raktas vėliau gali būti naudojamas šifruoti vėlesnius ryšius naudojant simetrinio rakto algoritmą.

Diffie-Hellman saugumas priklauso nuo diskrečiojo logaritmo problemos, susijusios su pirminiais skaičiais ir moduline aritmetika, sudėtingumo.

Štai supaprastintas paaiškinimas:

1. Alisa ir Bobas susitaria dėl didelio pirminio skaičiaus p ir bazės g (kur g yra primityvi šaknis moduliu p). p ir g yra vieši.
2. Alisa pasirenka slaptą sveikąjį skaičių a ir apskaičiuoja A = g^a mod p. Alisa siunčia A Bobui.
3. Bobas pasirenka slaptą sveikąjį skaičių b ir apskaičiuoja B = g^b mod p. Bobas siunčia B Alisai.
4. Alisa apskaičiuoja bendrą slaptą raktą s = B^a mod p.
5. Bobas apskaičiuoja bendrą slaptą raktą s = A^b mod p.

Tiek Alisa, tiek Bobas gauna tą patį bendrą slaptą raktą s, niekada tiesiogiai neapsikeisdami savo slaptaisiais sveikaisiais skaičiais a ir b. Pasiklausytojas, žinantis p, g, A ir B, turėtų išspręsti diskrečiojo logaritmo problemą, kad apskaičiuotų a arba b ir taip nustatytų bendrą slaptą raktą s.

Pavyzdys: Tarkime, p = 23 ir g = 5.

• Alisa pasirenka a = 6. A = 5⁶ mod 23 = 8
• Bobas pasirenka b = 15. B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• Alisa siunčia 8 Bobui, o Bobas siunčia 19 Alisai.
• Alisa apskaičiuoja s = 19⁶ mod 23 = 2
• Bobas apskaičiuoja s = 8¹⁵ mod 23 = 2

Bendras slaptas raktas yra 2. Vėlgi, realiuose įgyvendinimuose naudojami daug didesni pirminiai skaičiai.

Elipsinių kreivių kriptografija (EKK)

Elipsinių kreivių kriptografija (EKK) yra viešojo rakto kriptosistema, pagrįsta elipsinių kreivių algebrine struktūra virš baigtinių laukų. EKK siūlo panašų saugumą kaip RSA su mažesniais raktų dydžiais, todėl ji tinka aplinkoms su ribotais ištekliais, pavyzdžiui, mobiliesiems įrenginiams ir įterptinėms sistemoms. EKK taip pat remiasi skaičių teorija ir elipsinės kreivės diskrečiojo logaritmo problemos sudėtingumu.

EKK, vietoj modulinio laipsnio kėlimo, kriptografinės operacijos yra pagrįstos elipsinių kreivių aritmetika (taškų sudėtis ir daugyba iš skaliaro). EKK saugumas priklauso nuo to, kad yra skaičiavimo požiūriu sunku išspręsti elipsinės kreivės diskrečiojo logaritmo problemą, kuri apima skaliarinio daugiklio, siejančio du taškus elipsinėje kreivėje, radimą.

EKK plačiai naudojama įvairiose srityse, įskaitant:

• Skaitmeninius parašus (pvz., ECDSA)
• Raktų apsikeitimą (pvz., ECDH)
• Šifravimą

Kriptografijos ir pirminių skaičių ateitis

Vykstanti kvantinių kompiuterių plėtra kelia didelę grėsmę daugeliui dabartinių kriptografijos algoritmų. Shoro algoritmas, kvantinis algoritmas, gali efektyviai skaidyti didelius skaičius ir išspręsti diskrečiojo logaritmo problemą, taip iš esmės sulaužydamas RSA, Diffie-Hellman ir EKK.

Reaguodami į šią grėsmę, mokslininkai aktyviai kuria post-kvantinę kriptografiją (PQC), kuri apima kriptografijos algoritmus, laikomus atspariais tiek klasikinių, tiek kvantinių kompiuterių atakoms. Daugelis PQC algoritmų yra pagrįsti skirtingomis matematinėmis problemomis nei naudojamos RSA ir EKK, pavyzdžiui, gardelėmis pagrįsta kriptografija, kodu pagrįsta kriptografija, daugiakintamė kriptografija ir maišos funkcijomis pagrįsta kriptografija.

Net kvantinių kompiuterių amžiuje skaičių teorija, o ypač pirminiai skaičiai, greičiausiai ir toliau vaidins svarbų vaidmenį kriptografijoje. Pavyzdžiui, pirminiai skaičiai gali būti naudojami gardelių konstravimui gardelėmis pagrįstoje kriptografijoje arba maišos funkcijų projektavimui maišos funkcijomis pagrįstoje kriptografijoje.

Realaus pasaulio taikymai

Aptarti principai yra įgyvendinami visame pasaulyje. Štai keletas įvairių pavyzdžių:

• Saugios internetinės operacijos: Kai perkate internetu naudodamiesi kredito kortele, operacija paprastai yra apsaugota naudojant HTTPS, kuris remiasi TLS/SSL protokolais. Šie protokolai dažnai naudoja RSA arba EKK, kad sukurtų saugų ryšį tarp jūsų naršyklės ir tinklo serverio, apsaugodami jūsų jautrią informaciją nuo pasiklausymo.
• Skaitmeniniai parašai: Skaitmeniniai parašai naudojami skaitmeninių dokumentų autentiškumui ir vientisumui patvirtinti. Algoritmai, tokie kaip RSA ir ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm), naudoja pirminius skaičius ir modulinę aritmetiką, kad sukurtų skaitmeninius parašus, kuriuos sunku suklastoti. Tai naudojama teisiškai įpareigojančioms sutartims tokiose šalyse kaip Singapūras ir elektroninių dokumentų tikrinimui Europos Sąjungoje.
• Saugios komunikacijos programėlės: Daugelis pranešimų siuntimo programėlių, tokių kaip „Signal“ ir „WhatsApp“, naudoja visišką šifravimą (angl. end-to-end encryption), kad apsaugotų jūsų pokalbių privatumą. Šios programėlės dažnai naudoja Diffie-Hellman raktų apsikeitimą arba EKK, kad sukurtų saugius komunikacijos kanalus.
• Kriptovaliutos: Kriptovaliutos, tokios kaip „Bitcoin“, naudoja elipsinių kreivių kriptografiją (konkrečiai, ECDSA su secp256k1 kreive), kad apsaugotų operacijas ir kontroliuotų skaitmeninio turto nuosavybę. „Bitcoin“ pasaulinis prieinamumas ir decentralizacija yra puikus šių principų plataus taikymo pavyzdys.
• VPN (Virtualūs privatūs tinklai): VPN naudoja kriptografinius protokolus, kad sukurtų saugius tunelius tarp jūsų įrenginio ir nuotolinio serverio, apsaugodami jūsų interneto srautą nuo perėmimo. VPN paprastai naudoja algoritmus, tokius kaip AES (Advanced Encryption Standard) simetriniam šifravimui ir RSA arba EKK raktų apsikeitimui. VPN yra labai svarbūs saugiai prieigai prie interneto šalyse, kuriose taikoma griežta cenzūra.
• Saugus apvalkalas (SSH): SSH yra kriptografinis tinklo protokolas, leidžiantis saugiai pasiekti ir valdyti nuotolinius serverius. SSH naudoja algoritmus, tokius kaip RSA ir EKK, autentifikavimui ir raktų apsikeitimui.

Išvada

Skaičių teorija, sutelkianti dėmesį į pirminius skaičius, nėra tik abstrakti matematinė disciplina; tai yra fundamentalus šiuolaikinės kriptografijos ramstis. Nuo saugių internetinių operacijų užtikrinimo iki jautrių komunikacijų apsaugos, pirminiai skaičiai vaidina lemiamą vaidmenį užtikrinant mūsų skaitmeninio pasaulio konfidencialumą, vientisumą ir autentiškumą. Technologijoms toliau vystantis, skaičių teorijos ir kriptografijos sąveika išliks esminė saugant informaciją ir palaikant pasitikėjimą vis labiau susietoje visuomenėje. Vykstantys tyrimai ir plėtra post-kvantinės kriptografijos srityje rodo įsipareigojimą apsaugoti mūsų skaitmeninę ateitį nuo kylančių grėsmių.

Papildomi mokymosi šaltiniai

• Knygos:
  • "An Introduction to the Theory of Numbers" autoriai G.H. Hardy ir E.M. Wright
  • "Elementary Number Theory" autorius David M. Burton
  • "Cryptography Theory and Practice" autoriai Douglas Stinson ir Maura Paterson
• Internetiniai kursai:
  • Coursera: Cryptography I ir II, Dan Boneh (Stanfordo universitetas)
  • edX: Introduction to Cryptography, Christof Paar (Rūro universitetas Bochume)
• Svetainės:
  • Wikipedia: Skaičių teorija, Pirminis skaičius, Kriptografija, RSA
  • Khan Academy: Number Theory